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Application conçue et réalisée par Jérémy Grenier pour ScolaTools : © Jérémy Grenier · ScolaTools, tous droits réservés. Textes, questions, dessins, animations et calculs ont été faits pour l'application (à relire et à adapter à vos élèves).

Sources des données

Les valeurs techniques et les faits cités sont relevés par le script outils/recuperer-sources.js, qui lit une version précise de chaque article (lien ci-dessous) et garde la phrase d'où vient chaque valeur.

Les propriétés des matériaux

Thème « Les matériaux à l'épreuve » : des valeurs usuelles arrondies, recoupées une à une par le script outils/recuperer-materiaux.js dans les tableaux de Wikipédia (version précise de chaque article, licence CC BY-SA 4.0) et ressaisies comme données factuelles. Une valeur marquée d'un astérisque est choisie pour le modèle (un ordre de grandeur, pas une valeur relevée) ; une valeur en italique est calculée à partir des autres.

Pour « Choisir un matériau », l'empreinte carbone des matériaux, neufs et recyclés, vient de la Base carbone® de l'ADEME (version 23.6, jeu de données « base-carboner » de data.ademe.fr), réutilisée sous Licence Ouverte / Open Licence (Etalab) : le script vérifie cette licence et retrouve chaque facteur d'émission par son numéro d'élément. Les prix relevés sont des cours de matières premières (Wikipédia) ; les classes de prix €, €€ et €€€ des fiches sont des ordres de grandeur choisis pour l'appli, comme les seuils des exigences.

L'ensoleillement et les facteurs d'émission du cabanon

Pour « Une source pour le cabanon », l'ensoleillement vient de PVGIS (Photovoltaic Geographical Information System), service du Centre commun de recherche de la Commission européenne (© Union européenne), version 5.3, base de rayonnement SARAH-3 : l'éclairement horaire d'un panneau incliné de 30° plein sud à Lyon (45,764° N ; 4,836° E) pour toute l'année 2023, soit 8 760 valeurs en W/m², arrondies au W/m² par l'appli. Réutilisation autorisée avec mention de la source, selon la politique de réutilisation de la Commission (décision 2011/833/UE du 12 décembre 2011). Le script outils/recuperer-pvgis.js note l'adresse exacte de la requête, ses paramètres et la date de lecture, et relit l'avis juridique de la Commission ; il n'écrit rien si l'API ne répond pas.

Les facteurs d'émission viennent de la Base carbone® de l'ADEME (Licence Ouverte / Open Licence, Etalab), retrouvés par leur numéro d'élément : électricité du réseau en France, mix moyen 2024, consommation (n° 43642) : 0,0519 kg CO₂e par kWh ; électricité photovoltaïque, panneaux fabriqués en Chine, cas par défaut en France (n° 34720) : 0,0439 kg CO₂e par kWh produit ; pile alcaline AA de 23 g (n° 24247) : 0,137 kg CO₂e par pile. La Base carbone ne donne pas de facteur pour fabriquer une batterie de ce type : elle n'est pas comptée. La capacité d'une pile AA (de 1 700 à 2 850 mAh, d'après Wikipédia, « AA battery ») encadre la valeur choisie, 2 000 mAh.

Ce que calculent les modèles

• Engrenages : roues à denture droite, angle de pression 20°, rayon primitif m·Z/2, profil des dents en développante de cercle approchée, rapport et sens calculés de proche en proche dans le graphe des contacts, calage des dents. Rendement par étage : valeur de Wikipédia, réglable au niveau lycée.
• Courroie : longueur et angles d'enroulement exacts ; patinage d'une courroie plate quand le couple demandé dépasse le couple limite de la formule d'Euler (Eytelwein), avec un coefficient d'adhérence de 0,5 (bas de la fourchette de Wikipédia) et une tension de pose choisie pour le modèle (150 N, une valeur d'exemple, pas une mesure).
• Vélo : plateaux, pignons et tour de roue de l'exemple « vélo de route » de Wikipédia ; vitesse = développement × cadence ; à vitesse constante, la roue pousse le vélo avec une force égale au poids dans la pente, à la résistance au roulement et à la résistance de l'air. Valeurs choisies pour le modèle : un cycliste de 70 kg sur un vélo de 10 kg, S·Cx = 0,3 m² (le modèle redonne alors, à 6 % près, les puissances aux pédales des exemples chiffrés de Wikipédia), Crr = 0,005 et rendement de 0,95 (dans les fourchettes de Wikipédia). L'effort affiché est l'effort moyen sur la pédale ; le cycliste ne peut pas appuyer en moyenne plus fort que son poids (debout sur les pédales, en tirant sur le guidon), ni fournir plus de 1 000 W aux pédales (environ le double des 500 W qu'un champion tient une heure, d'après Wikipédia) : au-delà, il cale ou il s'épuise.
• Treuil : rapport, couples et efforts exacts pour une vis à 1, 2 ou 4 filets ou un pignon de 10 dents et une roue de 20 dents (module 4 mm, tambour de 30 mm de rayon, manivelle de 100 mm : un petit treuil imaginé pour l'appli). Irréversibilité et rendements de la vis calculés avec l'angle d'hélice et un coefficient de frottement choisi pour le modèle (0,15) ; au-delà de 250 N, l'appli considère la manivelle trop dure à tourner. Une charge que rien ne retient redescend à une vitesse limitée, animée simplement (sans calcul de dynamique). La charge est dessinée à l'échelle : un bloc d'acier plein dont la taille suit la masse (masse volumique d'environ 7 800 kg/m³, ordre de grandeur choisi pour le dessin).
• Bielle-manivelle : loi d'entrée-sortie exacte, x(θ) = r·cos θ + √(L² − r²·sin² θ), vitesse du piston et comparaison avec la sinusoïde. Poussé par le piston, le mécanisme suit l'équation du mouvement d'une inertie variable (inertie équivalente J + m·(dx/dθ)²), avec un frottement sec et un frottement visqueux ; le couple transmis par la poussée, C = F·dx/dθ, est nul aux points morts. Valeurs choisies pour le modèle (ce ne sont pas des mesures) : piston de 0,2 kg, frottements de 0,05 N·m et de 0,04 N·m par rad/s, poussée de 20 N, volant d'acier plein de 160 mm sur 20 mm (J ≈ 0,010 kg·m²).
• Cames : profil polaire (excentrique, cœur, escargot, ou douze poignées reliées par une interpolation qui ne dépasse jamais les poignées) ; pour chaque angle, le point de contact du poussoir (sabot de 3 mm, galet de 8 mm ou plateau) est cherché sur plus de 700 points du bord. Au-delà d'un angle de pression de 60° en montée (valeur choisie pour le modèle), le poussoir se coince. L'oiseau est un dessin de l'appli.
• Crémaillère, vis et écrou : un tour de pignon fait avancer la crémaillère de 2π·r, un tour de vis fait avancer l'écrou d'un pas ; vis trapézoïdales normalisées (Tr 20 × 3 pour l'étau, Tr 16 × 3 pour le cric, d'après le tableau de Wikipédia), rendement et irréversibilité calculés avec l'angle d'hélice et le frottement du flanc incliné de 15° ; cric losange calculé par les travaux virtuels (force dans la vis = poids × w / y). Valeurs choisies pour le modèle (ce ne sont pas des mesures) : portail de 300 kg et résistance au roulement de 2 %, bloc de bois qui se comprime de 1 mm sous 4 000 N, coefficient de frottement 0,15 (le même que pour le treuil), petits frottements à vide de l'étau et du cric (0,1 N·m à ajouter au couple de la vis), limite de 250 N sur la manivelle.
• Le banc de flexion : une planche de 800 mm sur deux appuis, chargée de livres répartis sur toute sa longueur, son propre poids compris ; flèche f = 5·q·L⁴ / (384·E·I), contrainte σ = M·v / I avec M = q·L² / 8. Verre, PLA et bois : élastiques jusqu'à la rupture. Acier, aluminium, PVC et carton : palier plastique simplifié (au-delà de la limite élastique, la contrainte ne monte plus) ; la flèche définitive est calculée en intégrant la courbure le long de la planche, et la planche plie pour de bon quand toute la section a plastifié. Valeurs choisies pour le modèle (ce ne sont pas des mesures) : livres de 0,5 kg, planche plate de 200 mm de large, tube dont la paroi fait un dixième du côté, profilé en I dont les semelles font la moitié de la hauteur et les épaisseurs un dixième, masse volumique (700 kg/m³) et limite (15 MPa) du carton ; au-delà de 80 mm de flèche, les livres glissent. Le flambement local des parois minces n'est pas représenté. La déformation est dessinée 20 fois, 5 fois ou 1 fois plus grande qu'en vrai : l'échelle est toujours écrite.
• La tige qui se tord : une tige ronde pleine de 150 mm, encastrée d'un côté ; contrainte de cisaillement τ = T / W_t avec W_t = π·d³ / 16, angle θ = T·L / (G·J) avec J = π·d⁴ / 32. Verre et PLA : rupture quand τ atteint la résistance à la traction (cassure en hélice). Acier, aluminium, cuivre et PVC : limite τ_e = 0,5 × R_e (valeur usuelle pour les aciers doux, choisie pour tous) ; au-delà, le cœur de la tige reste élastique, puis la tige cède à 4/3 du couple limite. Modules de cisaillement du PVC et du PLA calculés par G = E / (2·(1 + ν)), avec ν = 0,36 choisi pour le PLA. L'angle est dessiné en vraie grandeur, la tige est grossie 4 fois.
• Conducteur ou isolant : équation de la chaleur à une dimension, résolue par différences finies explicites (un nœud par millimètre, pas de temps sous la limite de stabilité), avec les pertes par la surface ; la diffusivité et la conductivité viennent de la table des matériaux. Valeurs choisies pour le modèle (ce ne sont pas des mesures) : tiges de 6 mm de diamètre et de 150 mm, bille de cire à 50 mm de la cuve, eau à 100 °C, air à 20 °C, cire qui lâche la bille à 60 °C, échange avec l'air h = 10 W/(m²·K), bout de la tige sans perte. Circuit : pile de 4,5 V, lampe donnée pour 4,5 V et 0,2 A (résistance supposée constante), R = ρ·L / S ; le bois, dont le tableau relevé ne donne pas la résistivité, est traité comme un isolant ; au lycée, fil de 10 m de long et de 0,2 mm de diamètre.
• Choisir un matériau : chaque fiche est comparée aux exigences cochées et à l'exigence d'usage de l'objet. Valeurs choisies pour l'appli : les seuils (léger jusqu'à 3 000 kg/m³, rigide à partir de 50 GPa, empreinte carbone de 2,5 kg de CO₂ équivalent par kilogramme au plus, classe de prix € ou €€), les classes de prix, les exigences d'usage (conductivité d'au moins 10 W/(m·K) pour la casserole, limite d'au moins 200 MPa pour le cadre de vélo, matériau non fragile et limite d'au moins 40 MPa pour la coque de trottinette, ni bois ni carton pour la gourde). Essai de traction (lycée) : éprouvette de 20 mm² et de 50 mm ; droite σ = E·ε jusqu'à R_e, puis arc de parabole choisi pour le modèle, qui passe par R_m aux 6/10 de l'allongement à la rupture et redescend jusqu'à la rupture. Diagramme d'Ashby : indices E / ρ, √E / ρ et ∛E / ρ.
• Le cadre qui se couche et Construis un pont : des treillis de barres articulées à leurs deux bouts, calculés par la méthode des raideurs (l'équilibre de chaque nœud, écrit avec la raideur E·A / L de chaque barre, est résolu par élimination de Gauss, ce qui calcule aussi les structures hyperstatiques) ; un système sans solution unique signale un mécanisme. Une barre cède en traction au-delà de A × R_m (bois) ou de A × R_e (acier), en compression au-delà de la charge critique d'Euler π²·E·I / L² ou de A × la même limite ; on la retire et on recalcule, jusqu'à ce que tout tienne ou que le pont s'effondre (la chute n'est qu'un dessin). Pin et acier S235 de la table des matériaux. Valeurs choisies pour le modèle (ce ne sont pas des mesures) : cadre de 900 × 1 200 mm en tasseaux de pin de 30 × 30 mm, équerre de 150 mm, poussée de 200 N au plus ; pont de 24 m sur un appui articulé et un appui à rouleau, nœuds tous les 4 m, barres de bois carrées de 100 × 100 mm, tubes d'acier de 120 × 120 mm à paroi de 8 mm, prix de jeu de 50 € (bois) et 200 € (acier) le mètre, camion à deux essieux distants de 4 m portant chacun la moitié du poids, poids des barres non compté. L'équerre, qui fait fléchir le montant et la traverse, est calculée par les moments (principe fondamental de la statique) ; le panneau de fond est représenté par deux diagonales.
• La grue en équilibre : principe fondamental de la statique appliqué à la grue entière (somme des forces et somme des moments nulles) : les deux réactions verticales du pied ; un appui ne pouvant que pousser, une réaction négative signifie que la grue bascule (vers l'avant si c'est l'appui arrière, vers l'arrière sinon). Moments additionnés en kg·m sur des masses multiples de 100 kg et des distances multiples de 50 cm, sans arrondi. La tête (flèche et contre-flèche tenues par leurs tirants depuis la pointe du mât, mât supposé indéformable, charge partagée entre les bouts de la flèche par la règle du levier) est calculée par le même moteur de treillis. Valeurs choisies pour le modèle (ce n'est pas une grue réelle) : pied de 4 m entre ses deux appuis, grue de 8 t (mât, flèche, contre-flèche et lest du pied, sans le contrepoids) avec son centre de gravité sur l'axe du mât, flèche de 24 m (charge de 3 à 24 m du mât, de 0 à 4 t), contrepoids de 0 à 10 t en blocs de 1 t centré à 7 m en arrière du mât, pointe du mât 6 m au-dessus de la flèche ; ni vent ni balancement de la charge. La grue qui bascule s'arrête penchée de 7° (un dessin) : une vraie grue continuerait de tomber.
• La chaîne d'énergie (« Monte la chaîne d'énergie », « Le bilan de la trottinette ») : P = U·I, P = C·ω (ω = 2π·N / 60), P = F·v ; chaque constituant rend η × la puissance qu'il reçoit, le reste est dissipé en chaleur ; rendement global = produit des rendements ; résistances à l'avancement comme pour le vélo (poids dans la pente, roulement, air) ; consommation en Wh/km, autonomie = énergie / consommation ; l'énergie qui sert à monter est gardée en énergie de position et rendue dans la descente (freins, ou recharge de la batterie au lycée). Valeurs choisies pour le modèle (des ordres de grandeur, pas les mesures de vrais objets) : trottinette de 14 kg, passager de 20 à 120 kg, batterie de 36 V et 7,5 Ah (270 Wh, toute utilisable, à tension constante), rendements de la batterie 0,95, du variateur 0,95, du moteur 0,85 et de la roue 0,97 (rendement global 0,744), coefficient de roulement 0,015, S·Cx = 0,6 m², roue de 22 cm, moteur de 350 W au plus, vitesse constante et sans vent ; la masse volumique de l'air (1,225 kg/m³) vient de Wikipédia. Bilans des objets (lycée) : perceuse (batterie de 18 V, moteur à 3 000 tr/min de rendement 0,75, réducteur 1/10 de rendement 0,8), portail coulissant (230 V, moteur à 1 400 tr/min de rendement 0,6, réducteur 1/22 de rendement 0,6, pignon de 30 mm de rayon), monte-charge (230 V, moteur à 1 400 tr/min de rendement 0,8, réducteur 1/40 de rendement 0,7, tambour de 0,1 m de rayon). Dessins des objets, de la trottinette et du diagramme des flux : faits par l'appli.
• Moteur ou génératrice : machine à courant continu en régime établi, E = k·ω, C = k·I ; en moteur, U = E + R·I (au-delà du couple de démarrage k·U / R − C_f, le moteur est bloqué et I = U / R) ; en génératrice, U = E − R·I, I = E / (R + R_lampe), la lampe reçoit R_lampe·I². Valeurs choisies pour le modèle (un petit moteur de maquette imaginé pour l'appli) : k = 0,01 V par rad/s, R = 2 Ω, frottement de 0,5 mN·m, piles idéales de 1,5 V, frein de 0 à 25 mN·m, manivelle de 0 à 200 tr/min et multiplicateur × 20 de rendement 0,9, lampe de 10 Ω (3 V, 0,9 W), dite allumée à partir de 1 % de sa puissance normale. Dessins : faits par l'appli ; l'axe est dessiné 20 fois au ralenti.
• Une source pour le cabanon : une année heure par heure, en heure légale (UTC + 1 h, + 2 h du 26 mars au 29 octobre 2023). La lampe s'allume à la tombée de la nuit (l'heure qui suit la dernière heure éclairée de l'après-midi) ; panneau : P_c × G / 1 000 × 0,75 ; batterie de 12 V et 20 Ah (240 Wh, toute utilisable), chargée avec un rendement de 0,9, jamais au-delà de sa capacité. Valeurs choisies pour le modèle (des ordres de grandeur) : lampe à LED de 5 W, de 1 à 6 h par soir ; pompe de 20 W, 30 min chaque matin de mai à septembre ; panneau de 5 à 100 Wc ; dynamo de 40 W, de 0 à 60 min par jour ; jeu de 8 piles AA de 3 Wh ; prix arrondis (pile 0,50 €, électricité 0,25 € le kWh, panneau 2 € par Wc, batterie 60 €, dynamo 80 €). Dessins : faits par l'appli.
• Ouvre la machine : dessins de principe des cinq machines, animés à partir d'un seul angle : mécanisme à quatre barres (intersection de deux cercles), loi de la bielle-manivelle, croix de Malte (1/n de tour par tour, pendant 1/2 − 1/n du tour) ; roues dentées, vis sans fin et courroies dessinées par le moteur d'engrenages de l'appli. Tout est montré au ralenti.

Polices

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