Nombres et calculs

• Tous les nombres sont calculés exactement par l'application : décimaux et fractions sont des quotients de deux entiers (entiers de taille illimitée de JavaScript, BigInt), jamais des nombres à virgule flottante, qui se trompent (pour un ordinateur, 0,1 + 0,2 ne fait pas exactement 0,3). Les nombres écrits sous la droite sont fabriqués chiffre par chiffre ; seule la position des traits à l'écran est arrondie au pixel.
• La droite graduée zoome des milliards aux millièmes de milliardième (douze chiffres après la virgule) ; autour des très grands nombres, le zoom s'arrête plus tôt, pour que les nombres écrits tiennent sous la droite.
• L'arrondi suit la règle « au plus proche » ; un nombre exactement au milieu est arrondi vers le plus grand en valeur absolue (2,35 → 2,4 et −2,35 → −2,4) : l'arrondi de −x est l'opposé de celui de x, comme sur les tableurs et les calculatrices ; le programme ne fixe pas de règle pour les nombres négatifs.
• √2, π et les autres racines sont encadrés par le calcul exact (racine carrée entière, formule de Machin pour π), avec autant de chiffres qu'il faut pour que les écarts et les arrondis soient justes.
• Les nombres à placer, les nombres à ranger et les questions de calcul mental sont tirés au hasard par l'application ; les nombres des défis sont choisis pour l'application.
• Fractions : chaque comparaison, somme, différence ou fraction d'une fraction passe par le plus petit dénominateur commun et finit par la fraction irréductible ; une fraction qui n'est pas un nombre décimal n'est jamais écrite avec une virgule sans « ≈ ». La division posée (seconde) repère la période dès qu'un reste revient.
• Échiquier : 2⁶³ = 9 223 372 036 854 775 808 et 2⁶⁴ − 1 = 18 446 744 073 709 551 615 sont calculés exactement (au-delà de 2⁵³, les nombres à virgule flottante perdent des chiffres) ; le tas est dessiné avec 400 points au plus (chaque point vaut 1, 10, 100, 1 000… grains, nombre de points arrondi) ; masses et années de production sont des valeurs approchées, écrites avec « environ ».
• Puissances de 10 : les nombres sont écrits en entier chiffre par chiffre et convertis exactement du nanomètre au gigamètre ; la position sur la règle (échelle logarithmique) est la seule valeur arrondie, pour le dessin. Un quotient de deux longueurs est donné en notation scientifique à deux chiffres, avec « ≈ » s'il est arrondi.
• Racine carrée : chaque encadrement de √n vient d'un balayage exact (1,414² = 1,999 396 < 2 < 2,002 225 = 1,415²) ; les valeurs approchées sont écrites avec « ≈ ».
• Nombres premiers : le crible, les critères de divisibilité (vérifiés par la division), les décompositions en facteurs premiers et les simplifications de fractions sont calculés exactement par l'application ; ce qui est éteint dans le crible est exactement ce que dit le compteur, et chaque égalité écrite sous un arbre (le produit des nombres du bas vaut celui du haut) est vraie à chaque geste.
• Calcul littéral : les expressions tapées par l'élève (« 3x + 2 », « 3 × x + 2 », « 2(x + 1) », « x^2 ») sont lues par l'application ; deux expressions sont déclarées égales pour toutes les valeurs de la lettre seulement quand leurs formes développées réduites ont les mêmes coefficients (calcul exact), et sinon l'application donne un contre-exemple, le nombre entier le plus proche de 0 qui les sépare. Une saisie illisible n'est jamais comptée fausse. Les allumettes dessinées sont exactement celles de la formule du motif ; la balance penche selon le poids réel de ses deux plateaux. Le rectangle découpé : chaque égalité écrite sous le dessin est vraie à chaque réglage (vérifié pour tous les réglages des curseurs), et quand a − b n'est pas une longueur, aucune aire n'est dessinée. Devine ma formule : une formule n'est déclarée trouvée que si elle a la même forme développée réduite que celle de la boîte ; si elle colle seulement aux essais, l'application le dit et demande un essai de plus.
• Proportionnalité : les quantités d'une recette, les valeurs d'un tableau, les coefficients et les pourcentages sont calculés exactement (quotients d'entiers) ; un nombre d'œufs qui ne tombe pas juste est écrit tel que le calcul le donne, puis l'arrondi fait en cuisine est dit. Ce qui reste le même quand le nombre de personnes change (temps, température) n'est jamais multiplié. Un tri des lignes « qui ne suivent pas » et une décision « proportionnelle ou non » sont jugés sur les valeurs affichées (quotients et alignement calculés exactement sur les coordonnées des points), jamais sur une règle cachée ; seule la position des points à l'écran est arrondie. Les recettes sont écrites pour l'application, avec des quantités usuelles.
• Soldes et vitesses : les prix, les pourcentages, les coefficients multiplicateurs, les taux d'évolution, les vitesses (le passage des km/h aux m/s divise exactement par 3,6), les durées et les instants de rattrapage sont calculés exactement ; un prix qui ne tombe pas sur un nombre entier de centimes est arrondi au centime le plus proche et écrit avec « ≈ », une valeur qui n'est pas décimale est écrite en fraction ou arrondie au dixième avec « ≈ ». Le graphique de la course est tracé à partir des valeurs exactes ; seules les positions à l'écran sont arrondies, et un instant lu sur le graphique n'est qu'une valeur approchée. Les articles, leurs prix et les réglages de la course sont choisis pour l'application.

Faits et textes cités

• Simon Stevin et La Disme (1585), notation 27⓪ 8① 4② 7③ : Vera Sanford, « La Disme of Simon Stevin, the first book on decimals », The Mathematics Teacher, volume 14, octobre 1921 (exemplaire numérisé d'Internet Archive) ; article « Simon Stevin » de Wikipédia en français.
• Brahmagupta et les règles des nombres négatifs (vers 628, chapitre 18 du Brāhmasphuṭasiddhānta) : articles « Brahmagupta » et « Negative number » de Wikipédia en anglais ; programme de cycle 4 du BO n° 10 du 5 mars 2026 (prolongement de 5e).
• Anders Celsius et son échelle de température inversée (1742, retournée vers 1745 ; retournement attribué à Linné, proposé aussi par Jean-Pierre Christin en 1743) : articles « Anders Celsius » et « Celsius » de Wikipédia en anglais.
• Papyrus Rhind (vers 1550 avant notre ère, scribe Ahmès, British Museum), partages de pains entre 10 hommes : articles « Rhind Mathematical Papyrus » de Wikipédia en anglais et « Papyrus Rhind » de Wikipédia en français.
• Étymologie de « fraction » et « nombres rompus » ; barre de fraction, attestée pour la première fois chez Abu Bakr al-Hassar (XIIe siècle), puis chez Fibonacci : articles « Fraction (mathématiques) » de Wikipédia en français et « Abu Bakr al-Hassar » de Wikipédia en anglais.
• Histoire du signe % (vers 1425-1435, puis vers 1650) : articles « Percent sign » de Wikipédia en anglais et « Pourcentage » de Wikipédia en français, d'après David Eugene Smith.
• Virgule ou point, tranches de trois chiffres : Résolution 10 de la 22e Conférence générale des poids et mesures (2003), qui reprend la résolution 7 de la 9e Conférence générale (1948), texte publié par le Bureau international des poids et mesures (bipm.org), lu le 17 octobre 2026.
• Échiquier de Sissa, une légende : calculs de progression sur l'échiquier rapportés par al-Masʿūdī au Xe siècle ; total des grains, 2⁶⁴ − 1, calculé par al-Bīrūnī vers l'an 1000 dans sa Chronologie des anciennes nations ; histoire du roi et de l'inventeur racontée au XIIIe siècle par Ibn Khallikan (dictionnaire biographique commencé en 1256) : articles « Wheat and chessboard problem » de Wikipédia en anglais (d'après A. A. Macdonell) et « Problème de l'échiquier de Sissa » de Wikipédia en français ; « On the History of the Square and Multiply Algorithm » (arXiv 2606.00958, 2026, § 4.1, d'après la traduction de C. E. Sachau, 1879), lus le 18 octobre 2026 ; programme de cycle 4 du BO n° 10 du 5 mars 2026 (prolongement de 3e).
• Production mondiale de riz paddy en 2024 : 820 223 300 tonnes, FAO (base FAOSTAT, production des cultures), données reprises par Our World in Data (« Rice production »), lues le 18 octobre 2026. Masse de 1 000 grains de riz : de 18,3 g à 30,5 g, d'après une étude de 41 variétés semi-naines mises au point par l'Institut international de recherche sur le riz (Philippine Journal of Crop Science, volume 23, supplément 1, résumé dans la base AGRIS de la FAO).
• Préfixes du Système international, de quecto (10⁻³⁰) à quetta (10³⁰), et dates de leur adoption comme préfixes du Système international (1960, 1964, 1975, 1991, 2022) : Bureau international des poids et mesures (bipm.org), page « SI prefixes » et résolutions de la Conférence générale des poids et mesures, lues le 18 octobre 2026 ; kilo, hecto, déca, déci, centi et milli datent de la loi du 18 germinal an III (7 avril 1795), méga et micro de 1873 : article « Metric prefix » de Wikipédia en anglais, lu le 18 octobre 2026.
• Longueurs repères : noyau de l'atome d'hydrogène (1,70 fm) et d'uranium (11,7 fm), article « Atomic nucleus » ; rayon de l'atome d'hydrogène (50 pm), virus de la mosaïque du tabac (18 nm), bactérie Escherichia coli (2 µm), globule rouge (7 µm), cheveu (100 µm en moyenne), mont Everest (8 848 m), Terre–Lune (384 400 km), diamètre du Soleil (1,39 Gm), article « Orders of magnitude (length) » ; rayon moyen de la Terre (6 371 km), article « Earth radius » ; tour Eiffel (330 m avec antennes, mesure de 2022), article « Tour Eiffel » de Wikipédia en français ; unité astronomique (149 597 870 700 m, définition de 2012) et année-lumière (9 460 730 472 580 800 m), articles « Astronomical unit » et « Light-year » ; diamètre de la Voie lactée (environ 87 400 années-lumière), article « Milky Way » ; articles de Wikipédia en anglais sauf mention contraire, lus le 18 octobre 2026.
• Tablette YBC 7289 (Mésopotamie, entre 1800 et 1600 avant notre ère environ, université Yale), valeur de √2 en base soixante 1;24,51,10 : article « YBC 7289 » de Wikipédia en anglais (d'après D. Fowler et E. Robson).
• Ératosthène de Cyrène (vers 276 – vers 194 avant notre ère), directeur de la bibliothèque d'Alexandrie ; la plus ancienne description connue du crible, dans l'Introduction arithmétique de Nicomaque de Gérasa (début du IIe siècle), qui l'attribue à Ératosthène ; origine du nom « crible » discutée (d'après H.-J. Waschkies) : articles « Sieve of Eratosthenes », « Eratosthenes » et « Nicomachus » de Wikipédia en anglais, « Ératosthène » de Wikipédia en français, lus le 18 octobre 2026 ; programme de cycle 4 du BO n° 10 du 5 mars 2026 (prolongement de 5e).
• Infinité des nombres premiers, Euclide, Éléments, livre IX, proposition 20 (preuve directe, souvent présentée par l'absurde) : article « Euclid's theorem » de Wikipédia en anglais, lu le 18 octobre 2026.
• Décomposition en facteurs premiers : Euclide (Éléments, livre VII, propositions 30 à 32), Kamāl al-Dīn al-Fārisī (1267-1319), qui serait le premier à énoncer l'unicité, et Carl Friedrich Gauss (Disquisitiones arithmeticae, 1801, article 16), première démonstration de l'unicité : articles « Fundamental theorem of arithmetic » et « Kamāl al-Dīn al-Fārisī » de Wikipédia en anglais, « Théorème fondamental de l'arithmétique » de Wikipédia en français, lus le 18 octobre 2026.
• Exemples de l'appli tirés des attendus de fin de 4e (Eduscol) : les nombres premiers compris entre 50 et 70, la décomposition de 780, les bouquets de 434 roses et 620 tulipes.
• Origine du mot « calcul » (latin calculus, « petit caillou ») : article « Calculus (disambiguation) » de Wikipédia en anglais ; nombres figurés (nombres triangulaires, gnomon) et attribution incertaine à Pythagore : article « Figurate number » de Wikipédia en anglais ; comptage avec des cailloux : article « Pascaline » de Wikipédia en français, lus le 18 octobre 2026.
• Pascaline de Blaise Pascal (commencée en 1642, présentée en 1645 après une cinquantaine de prototypes, pour aider son père chargé des impôts à Rouen) : articles « Pascaline » de Wikipédia en français et « Pascal's calculator » de Wikipédia en anglais, lus le 18 octobre 2026.
• Al-Khwarizmi (vers 780 – vers 850, Maison de la sagesse de Bagdad) et son Abrégé du calcul par la restauration et la comparaison (al-jabr wa-l-muqābala, écrit entre 813 et 833, vers 820) : équations écrites en mots, inconnue appelée « la chose » (shay), gestes « al-jabr » (restauration) et « al-muqābala » (comparaison, ou mise en équilibre) d'après les historiens, traduction latine de Robert de Chester (1145), pas de nombres négatifs (d'après Carl Boyer), origine des mots « algèbre » et « algorithme » : G. J. Toomer, notice « Al-Khwārizmī » du Dictionary of Scientific Biography (règne d'al-Ma'mūn, 813-833 ; al-jabr, faire disparaître une quantité retranchée, et al-muqābala, retirer des deux côtés ce qui est pareil ; traductions de Robert de Chester et de Gérard de Crémone) ; articles « Al-Khwârizmî » et « Abrégé du calcul par la restauration et la comparaison » de Wikipédia en français, « Al-Khwarizmi » et « Al-Jabr » de Wikipédia en anglais, lus le 18 octobre 2026 ; programme de cycle 4 du BO n° 10 du 5 mars 2026 (prolongement de 5e : « Al-jabr » pour x + b = c et « Al-hatt » pour ax = c, rattachement différent des définitions des historiens, dit dans l'activité). La balance est une image d'aujourd'hui.
• Exemples tirés des attendus de fin de 4e (Eduscol) pour le calcul littéral : comparer « tripler puis ajouter 15 » et « ajouter 5 puis multiplier par 3 », « 4 est-il solution ? », les équations 4x + 2 = 0, 5x − 7 = 3 et 2x + 5 = −x − 4.
• Livre II des Éléments d'Euclide (vers 300 avant notre ère), souvent appelé livre de l'« algèbre géométrique » (lecture discutée par les historiens) ; démonstrations fondées sur des figures dans l'Abrégé d'al-Khwarizmi : G. J. Toomer, notice « Al-Khwārizmī » du Dictionary of Scientific Biography ; articles « Éléments d'Euclide » et « Abrégé du calcul par la restauration et la comparaison » de Wikipédia en français, « Euclid's Elements » de Wikipédia en anglais, lus le 18 octobre 2026.
• Interpolation : méthode publiée par Joseph-Louis Lagrange en 1795, trouvée dès 1779 par Edward Waring, conséquence d'une formule publiée par Leonhard Euler en 1783 ; usages en cryptographie (partage de secret) et dans les codes correcteurs d'erreurs : article « Lagrange polynomial » de Wikipédia en anglais, lu le 18 octobre 2026.
• Exemples tirés des attendus de fin de 3e (Eduscol) pour le calcul littéral : développer par simple et double distributivité, factoriser 4x² − 49, développer (x + 6)(x − 6), résoudre une équation produit nul ; identités remarquables dans les deux sens et développement de (a + b + c)² : programme de seconde de 2026.
• Fannie Farmer et son Boston Cooking-School Cook Book (1896), mesures « à ras » : articles « Fannie Farmer » et « Boston Cooking-School Cook Book » de Wikipédia en anglais ; chapitre « How to Measure » du livre (tirage de 1910, Projet Gutenberg, livre n° 65061), lus le 18 octobre 2026.
• Gâteau au yaourt mesuré avec le pot (un demi-pot d'huile, deux de sucre, trois de farine), premières recettes vers 1950 en France : article « Gâteau au yaourt » de Wikipédia en français ; œuf à la coque, environ 3 minutes dans l'eau bouillante : article « Œuf à la coque » de Wikipédia en français, lus le 18 octobre 2026.
• Nicole Oresme (vers 1320-1382) et sa représentation des qualités et des mouvements par des figures (Tractatus de configurationibus qualitatum et motuum, vers 1351-1360) : articles « Nicole Oresme » de Wikipédia en français et en anglais (d'après Marshall Clagett, Dictionary of Scientific Biography) ; La Géométrie de René Descartes (1637) : article « La Géométrie » de Wikipédia en anglais, lus le 18 octobre 2026.
• Exemples tirés des programmes pour la proportionnalité : la recette pour 4 personnes adaptée à 2, 8 ou 6 personnes (programme de cycle 4 du BO n° 10 du 5 mars 2026, automatismes de 5e) ; les huit briques de 13,6 kg (attendus de fin de 4e, Eduscol) ; une augmentation de 5 % qui se traduit par une multiplication par 1,05, une diminution de 20 % par une multiplication par 0,8, la distance parcourue pendant 1 s à 80 km/h (attendus de fin de 3e, Eduscol) ; la conversion des km/h en m/s (attendus de fin de 4e) ; les évolutions successives et réciproques (programme de seconde de 2026).
• Prix antérieur d'une réduction de prix (le prix le plus bas des trente jours précédents au moins), applicable dans l'Union européenne depuis le 28 mai 2022 : directive (UE) 2019/2161 du 27 novembre 2019, article 2 (article 6 bis de la directive 98/6/CE) et article 7, Journal officiel de l'Union européenne L 328 du 18 décembre 2019, lue sur eur-lex.europa.eu le 18 octobre 2026 ; une réduction se calcule à partir de ce prix : Cour de justice de l'Union européenne, arrêt du 26 septembre 2024, affaire C-330/23 (Aldi Süd), communiqué de presse n° 152/24, lu sur curia.europa.eu le 18 octobre 2026.
• La Jamais contente, voiture électrique de Camille Jenatzy, première automobile au-dessus de 100 km/h (Achères, 1899 ; un kilomètre chronométré départ lancé en 34 secondes ; 105,882 km/h) : articles « La Jamais contente », « Camille Jenatzy » et « Record de vitesse terrestre » (liste « Les records du kilomètre lancé de 1898 à 1928 », Le Miroir des sports, 28 février 1928) de Wikipédia en français, « La Jamais Contente » de Wikipédia en anglais, motormarques.com (« timed over a flying kilometre ») ; radars tronçons (vitesse moyenne entre deux points, premier en France mis en service en 2012) : article « Radar tronçon » de Wikipédia en français, lus le 18 octobre 2026.

Les faits historiques sont résumés pour l'application ; leurs sources détaillées sont dans le fichier LISEZMOI.

Polices

• Bricolage Grotesque (Mathieu Triay) et IBM Plex Mono (IBM), licence SIL Open Font License 1.1, hébergées avec les applications (dossier polices/) : rien n'est chargé depuis Internet. Le texte courant utilise la police du système.

Vie privée

• Aucun compte, aucune donnée envoyée : le niveau choisi, les missions et les meilleurs scores (défis, calcul mental, séries de « Place le nombre ») restent dans le navigateur de l'appareil. L'application fonctionne aussi sans ce stockage (navigation privée).